الْبَابُ الثَّانِي فِي الْكُسُورِ وَمَخَارِجِهَا وَهِيَ فِي اصْطِلَاحِ الْحِسَابِ مَعْلُومَةٌ ، وَهِيَ تِسْعَةٌ : النِّصْفُ ، وَالثُّلُثُ ، وَالرُّبُعُ ، وَالْخُمُسُ ، وَالسُّدُسُ ، وَالثُّمُنُ ، وَالتُّسْعُ ، وَالْعُشْرُ ، وَمَجْهُولَةٌ وَهِيَ كُلُّ كَسْرٍ يَخْرُجُ مَنْ عَدَدٍ لَا تَخْرُجُ مِنْهُ الْكُسُورُ الْمَعْلُومَةُ ، كَجُزْءٍ مِنْ أَحَدَ عَشَرَ وَمِنْ ثَلَاثَةَ عَشَرَ أَوْ ثَلَاثَةٍ وَعِشْرِينَ وَنَحْوِهِ ، وَيُسَمَّى هَذَا الْعَدَدَ الْأَصَمَّ . ثُمَّ الْمَعْلُومَةُ إِنْ تَجَرَّدَتْ سُمِّيَتْ مُفْرَدَةً ، كَالنِّصْفِ وَالثُّلُثِ ، أَوْ ثُنِّيَتْ فَمُثَنَّاةٌ كَالثُّلُثَيْنِ وَالْخُمُسَيْنِ ، أَوْ جُمِعَتْ فَمَجْمُوعَةٌ كَثَلَاثَةِ أَرْبَاعٍ ، أَوْ أُضِيفَتْ فَمُضَافَةٌ كَرُبْعِ الْعُشْرِ ، أَوْ عُطِفَتْ فَمَعْطُوفَةٌ كَالنِّصْفِ مِنَ اثْنَيْنِ وَالثُّلُثِ مِنْ ثَلَاثَةٍ إِلَى الْعُشْرِ مِنْ عَشَرَةٍ ، وَكَذَلِكَ الْمُثَنَّاةُ وَالْمَجْمُوعَةُ ، وَمَخْرَجُ الْمُضَافَةِ الْحَاصِلُ مِنْ ضَرْبِ مَخْرَجِ أَحَدِ الْمُضَافَيْنِ فِي مَخْرَجِ الْآخَرِ ، فَمَخْرَجُ رُبْعِ الْعُشْرِ أَرْبَعُونَ ، لِأَنَّهُ مِنْ ضَرْبِ أَرْبَعَةٍ فِي عَشَرَةٍ . وَالْمُقْتَرِنَةُ وَهِيَ الْمَعْطُوفَةُ لَا تُعْلَمُ إِلَّا بَعْدَ مَعْرِفَةِ الْمُمَاثَلَةِ وَالْمُدَاخَلَةِ وَالْمُوَافَقَةِ وَالْمُبَايَنَةِ . فَالْمُمَاثَلَةُ ظَاهِرَةٌ . وَالْمُدَاخَلَةُ وَتُسَمَّى الْمُنَاسَبَةَ أَنْ يَعُدَّ أَقَلَّ الْعَدَدَيْنِ أَكْثَرَهُمَا ، كَالِاثْنَيْنِ مَعَ السِّتَّةِ ، وَالثَّلَاثَةِ مَعَ التِّسْعَةِ . وَالْمُوَافَقَةُ وَتُسَمَّى الْمُشَارِكَةَ أَنْ يَحْصُلَ مِنْ أَحَدِ الْعَدَدَيْنِ كَسْرٌ يَحْصُلُ مِثْلُهُ مِنَ الْآخَرِ ، كَالْأَرْبَعَةِ مَعَ السِّتَّةِ ، يَحْصُلُ مِنْهَا النِّصْفُ ، وَكُلُّ مُدَاخِلٍ مُوَافِقٌ مِنْ غَيْرِ عَكْسٍ ، فَتُوَافِقُ الْأَرْبَعَةُ السِّتَّةَ وَلَا تُدَاخِلُهَا . وَالْمُبَايَنَةُ أَنْ لَا يَتَّفِقَا فِي كَسْرٍ كَالْخَمْسَةِ مَعَ الْأَرْبَعَةِ ، وَكُلُّ عَدَدَيْنِ أَسْقَطْتَ أَقَلَّهُمَا مِنْ أَكْثَرِهِمَا مَرَّةً بَعْدَ أُخْرَى فَإِنْ فَنِيَ بِوَاحِدٍ فَمُتَبَايِنَانِ ، أَوْ بِالْأَقَلِّ فَمُتَدَاخِلَانِ ، أَوْ فَنِيَ بِأَكْثَرَ مِنَ الْوَاحِدِ فَمُتَوَافِقَانِ فِيمَا يَصِحُّ مِنْ كَسْرِ ذَلِكَ الْعَدَدِ ، فَالتِّسْعَةُ مَعَ الْعِشْرِينَ مُتَبَايِنَةٌ ، وَالْأَرْبَعَةُ أَوِ الْخَمْسَةُ مَعَ الْعِشْرِينَ مُتَدَاخِلَةٌ ، وَالسِّتَّةُ مَعَ الْعِشْرِينَ مُوَافَقَةٌ ، وَالْكَسْرُ الَّذِي تَقَعُ بِهِ الْمُوَافَقَةُ قَدْ يَكُونُ مَعْلُومًا كَالرُّبُعِ ، وَقَدْ يَكُونُ مِنْ عَدَدٍ أَصَمَّ كَجُزْءٍ مِنْ أَحَدَ عَشَرَ إِنْ وَقَعَ الْإِفْنَاءُ بِأَحَدَ عَشَرَ ، أَوْ جُزْءٍ مِنْ ثَلَاثَةَ عَشَرَ إِنْ وَقَعَ الْإِفْنَاءُ بِثَلَاثَةَ عَشَرَ ، وَبِعِبَارَةٍ أُخْرَى كُلُّ عَدَدَيْنِ يَعُدُّهُمَا عَدَدُ الثَّالِثِ فَمُتَوَافِقَانِ ، وَكُلُّ عَدَدَيْنِ لَا يَعُدُّهُمَا إِلَّا الْوَاحِدُ فَمُتَبَايِنَانِ ، وَمِنْ شَرْطِ الْمُتَدَاخِلَيْنِ أَنْ لَا يَزِيدَ الدَّاخِلُ عَلَى النِّصْفِ . فَإِذَا أَرَدْتَ مَعْرِفَةَ الْخَارِجَ لِلْكُسُورِ الْمُفْتَرِقَةِ فَانْظُرْ مَخَارِجَ الْكُسُورِ ، إِنْ تَبَايَنَتْ فَاضْرِبْ كُلَّ وَاحِدٍ مِنْهُمَا فِي الْآخَرِ ، أَوْ تَوَافَقَتْ فَاضْرِبْ وَفْقَ أَحَدِهِمَا فِي كَامِلِ الْآخَرِ ، أَوْ تَدَاخَلَتْ فَاكْتَفِ بِالْأَكْثَرِ عَنِ الْأَقَلِّ ، فَمَخْرَجُ الرُّبُعِ وَالْخُمُسِ أَنَّ الرُّبُعَ مِنْ أَرْبَعَةٍ وَالْخُمُسَ مِنْ خَمْسَةٍ وَهُمَا مُتَبَايِنَانِ ، فَاضْرِبِ الْأَرْبَعَةَ فِي الْخَمْسَةِ تَبْلُغُ عِشْرِينَ فَهُوَ مَخْرَجُ الْكَسْرَيْنِ ، لِأَنَّ رُبُعَهُ خَمْسَةٌ وَخُمُسَهُ أَرْبَعَةٌ . وَمِثَالُ الْمُوَافَقَةِ الرُّبُعُ وَالسُّدُسُ مَخْرَجُهُمَا أَرْبَعَةٌ وَسِتَّةٌ يَتَّفِقَانِ بِالنِّصْفِ تَضْرِبُ أَحَدَهُمَا فِي نِصْفِ الْآخَرِ تَبْلُغُ اثْنَيْ عَشَرَ وَهُوَ مَخْرَجُهُمَا لَهُ رُبُعٌ وَسُدُسٌ ، وَمِثَالُ الْمُدَاخَلَةِ النِّصْفُ وَالسُّدُسُ ، مَخْرَجُهُمَا اثْنَانِ وَسِتَّةٌ وَيَدْخُلُ الِاثْنَانِ فِي السِّتَّةِ فَمَخْرَجُهُ السِّتَّةُ اكْتِفَاءً بِالْأَكْثَرِ ، وَكَذَلِكَ إِذَا اقْتَرَنَ بِالْمُفْرَدِ مُضَافٌ كَسُدُسٍ وَرُبُعِ عُشْرٍ ، فَمَخْرَجُ السُّدُسِ سِتَّةٌ ، وَرُبُعُ الْعُشْرِ أَرْبَعُونَ يَتَّفِقَانِ بِالنِّصْفِ ، تَضْرِبُ ثَلَاثَةً فِي أَرْبَعِينَ تَبْلُغُ مِائَةً وَعِشْرِينَ ، وَهِيَ مَخْرَجُ الثَّلَاثَةِ ، وَإِنَّمَا أَسْقَطْنَا الْمِثْلَ وَالدَّاخِلَ فِي الْمُتَدَاخِلَيْنِ لِأَنَّ الْمَقْصُودَ بِطَلَبِ الْوَفْقِ لَا يَحْصُلُ فِيهِمَا ، فَإِنْ ضُرِبَ وَفْقُ أَحَدِ الْمُتَدَاخِلَيْنِ فِي كُلِّ الْآخَرِ لَا يَزِيدُ الْخَارِجَ عَلَى الْأَكْثَرِ ، لِأَنَّ الْمُوَافَقَةَ بَيْنَهُمَا بِجُزْءٍ مِنْ جُمْلَةِ آحَادِ أَحَدِهِمَا .

الْبَابُ الثَّانِي فِي الْكُسُورِ وَمَخَارِجِهَا وَهِيَ فِي اصْطِلَاحِ الْحِسَابِ مَعْلُومَةٌ ، وَهِيَ تِسْعَةٌ : النِّصْفُ ، وَالثُّلُثُ ، وَالرُّبُعُ ، وَالْخُمُسُ ، وَالسُّدُسُ ، وَالثُّمُنُ ، وَالتُّسْعُ ، وَالْعُشْرُ ، وَمَجْهُولَةٌ وَهِيَ كُلُّ كَسْرٍ يَخْرُجُ مَنْ عَدَدٍ لَا تَخْرُجُ مِنْهُ الْكُسُورُ الْمَعْلُومَةُ ، كَجُزْءٍ مِنْ أَحَدَ عَشَرَ وَمِنْ ثَلَاثَةَ عَشَرَ أَوْ ثَلَاثَةٍ وَعِشْرِينَ وَنَحْوِهِ ، وَيُسَمَّى هَذَا الْعَدَدَ الْأَصَمَّ . ثُمَّ الْمَعْلُومَةُ إِنْ تَجَرَّدَتْ سُمِّيَتْ مُفْرَدَةً ، كَالنِّصْفِ وَالثُّلُثِ ، أَوْ ثُنِّيَتْ فَمُثَنَّاةٌ كَالثُّلُثَيْنِ وَالْخُمُسَيْنِ ، أَوْ جُمِعَتْ فَمَجْمُوعَةٌ كَثَلَاثَةِ أَرْبَاعٍ ، أَوْ أُضِيفَتْ فَمُضَافَةٌ كَرُبْعِ الْعُشْرِ ، أَوْ عُطِفَتْ فَمَعْطُوفَةٌ كَالنِّصْفِ مِنَ اثْنَيْنِ وَالثُّلُثِ مِنْ ثَلَاثَةٍ إِلَى الْعُشْرِ مِنْ عَشَرَةٍ ، وَكَذَلِكَ الْمُثَنَّاةُ وَالْمَجْمُوعَةُ ، وَمَخْرَجُ الْمُضَافَةِ الْحَاصِلُ مِنْ ضَرْبِ مَخْرَجِ أَحَدِ الْمُضَافَيْنِ فِي مَخْرَجِ الْآخَرِ ، فَمَخْرَجُ رُبْعِ الْعُشْرِ أَرْبَعُونَ ، لِأَنَّهُ مِنْ ضَرْبِ أَرْبَعَةٍ فِي عَشَرَةٍ . وَالْمُقْتَرِنَةُ وَهِيَ الْمَعْطُوفَةُ لَا تُعْلَمُ إِلَّا بَعْدَ مَعْرِفَةِ الْمُمَاثَلَةِ وَالْمُدَاخَلَةِ وَالْمُوَافَقَةِ وَالْمُبَايَنَةِ . فَالْمُمَاثَلَةُ ظَاهِرَةٌ . وَالْمُدَاخَلَةُ وَتُسَمَّى الْمُنَاسَبَةَ أَنْ يَعُدَّ أَقَلَّ الْعَدَدَيْنِ أَكْثَرَهُمَا ، كَالِاثْنَيْنِ مَعَ السِّتَّةِ ، وَالثَّلَاثَةِ مَعَ التِّسْعَةِ . وَالْمُوَافَقَةُ وَتُسَمَّى الْمُشَارِكَةَ أَنْ يَحْصُلَ مِنْ أَحَدِ الْعَدَدَيْنِ كَسْرٌ يَحْصُلُ مِثْلُهُ مِنَ الْآخَرِ ، كَالْأَرْبَعَةِ مَعَ السِّتَّةِ ، يَحْصُلُ مِنْهَا النِّصْفُ ، وَكُلُّ مُدَاخِلٍ مُوَافِقٌ مِنْ غَيْرِ عَكْسٍ ، فَتُوَافِقُ الْأَرْبَعَةُ السِّتَّةَ وَلَا تُدَاخِلُهَا . وَالْمُبَايَنَةُ أَنْ لَا يَتَّفِقَا فِي كَسْرٍ كَالْخَمْسَةِ مَعَ الْأَرْبَعَةِ ، وَكُلُّ عَدَدَيْنِ أَسْقَطْتَ أَقَلَّهُمَا مِنْ أَكْثَرِهِمَا مَرَّةً بَعْدَ أُخْرَى فَإِنْ فَنِيَ بِوَاحِدٍ فَمُتَبَايِنَانِ ، أَوْ بِالْأَقَلِّ فَمُتَدَاخِلَانِ ، أَوْ فَنِيَ بِأَكْثَرَ مِنَ الْوَاحِدِ فَمُتَوَافِقَانِ فِيمَا يَصِحُّ مِنْ كَسْرِ ذَلِكَ الْعَدَدِ ، فَالتِّسْعَةُ مَعَ الْعِشْرِينَ مُتَبَايِنَةٌ ، وَالْأَرْبَعَةُ أَوِ الْخَمْسَةُ مَعَ الْعِشْرِينَ مُتَدَاخِلَةٌ ، وَالسِّتَّةُ مَعَ الْعِشْرِينَ مُوَافَقَةٌ ، وَالْكَسْرُ الَّذِي تَقَعُ بِهِ الْمُوَافَقَةُ قَدْ يَكُونُ مَعْلُومًا كَالرُّبُعِ ، وَقَدْ يَكُونُ مِنْ عَدَدٍ أَصَمَّ كَجُزْءٍ مِنْ أَحَدَ عَشَرَ إِنْ وَقَعَ الْإِفْنَاءُ بِأَحَدَ عَشَرَ ، أَوْ جُزْءٍ مِنْ ثَلَاثَةَ عَشَرَ إِنْ وَقَعَ الْإِفْنَاءُ بِثَلَاثَةَ عَشَرَ ، وَبِعِبَارَةٍ أُخْرَى كُلُّ عَدَدَيْنِ يَعُدُّهُمَا عَدَدُ الثَّالِثِ فَمُتَوَافِقَانِ ، وَكُلُّ عَدَدَيْنِ لَا يَعُدُّهُمَا إِلَّا الْوَاحِدُ فَمُتَبَايِنَانِ ، وَمِنْ شَرْطِ الْمُتَدَاخِلَيْنِ أَنْ لَا يَزِيدَ الدَّاخِلُ عَلَى النِّصْفِ . فَإِذَا أَرَدْتَ مَعْرِفَةَ الْخَارِجَ لِلْكُسُورِ الْمُفْتَرِقَةِ فَانْظُرْ مَخَارِجَ الْكُسُورِ ، إِنْ تَبَايَنَتْ فَاضْرِبْ كُلَّ وَاحِدٍ مِنْهُمَا فِي الْآخَرِ ، أَوْ تَوَافَقَتْ فَاضْرِبْ وَفْقَ أَحَدِهِمَا فِي كَامِلِ الْآخَرِ ، أَوْ تَدَاخَلَتْ فَاكْتَفِ بِالْأَكْثَرِ عَنِ الْأَقَلِّ ، فَمَخْرَجُ الرُّبُعِ وَالْخُمُسِ أَنَّ الرُّبُعَ مِنْ أَرْبَعَةٍ وَالْخُمُسَ مِنْ خَمْسَةٍ وَهُمَا مُتَبَايِنَانِ ، فَاضْرِبِ الْأَرْبَعَةَ فِي الْخَمْسَةِ تَبْلُغُ عِشْرِينَ فَهُوَ مَخْرَجُ الْكَسْرَيْنِ ، لِأَنَّ رُبُعَهُ خَمْسَةٌ وَخُمُسَهُ أَرْبَعَةٌ . وَمِثَالُ الْمُوَافَقَةِ الرُّبُعُ وَالسُّدُسُ مَخْرَجُهُمَا أَرْبَعَةٌ وَسِتَّةٌ يَتَّفِقَانِ بِالنِّصْفِ تَضْرِبُ أَحَدَهُمَا فِي نِصْفِ الْآخَرِ تَبْلُغُ اثْنَيْ عَشَرَ وَهُوَ مَخْرَجُهُمَا لَهُ رُبُعٌ وَسُدُسٌ ، وَمِثَالُ الْمُدَاخَلَةِ النِّصْفُ وَالسُّدُسُ ، مَخْرَجُهُمَا اثْنَانِ وَسِتَّةٌ وَيَدْخُلُ الِاثْنَانِ فِي السِّتَّةِ فَمَخْرَجُهُ السِّتَّةُ اكْتِفَاءً بِالْأَكْثَرِ ، وَكَذَلِكَ إِذَا اقْتَرَنَ بِالْمُفْرَدِ مُضَافٌ كَسُدُسٍ وَرُبُعِ عُشْرٍ ، فَمَخْرَجُ السُّدُسِ سِتَّةٌ ، وَرُبُعُ الْعُشْرِ أَرْبَعُونَ يَتَّفِقَانِ بِالنِّصْفِ ، تَضْرِبُ ثَلَاثَةً فِي أَرْبَعِينَ تَبْلُغُ مِائَةً وَعِشْرِينَ ، وَهِيَ مَخْرَجُ الثَّلَاثَةِ ، وَإِنَّمَا أَسْقَطْنَا الْمِثْلَ وَالدَّاخِلَ فِي الْمُتَدَاخِلَيْنِ لِأَنَّ الْمَقْصُودَ بِطَلَبِ الْوَفْقِ لَا يَحْصُلُ فِيهِمَا ، فَإِنْ ضُرِبَ وَفْقُ أَحَدِ الْمُتَدَاخِلَيْنِ فِي كُلِّ الْآخَرِ لَا يَزِيدُ الْخَارِجَ عَلَى الْأَكْثَرِ ، لِأَنَّ الْمُوَافَقَةَ بَيْنَهُمَا بِجُزْءٍ مِنْ جُمْلَةِ آحَادِ أَحَدِهِمَا .